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送交者: 酒哥 于 August 27, 2012 05:40:03:
回答: 美國國防部的23個數學挑戰 (78字) by 魚水 ZT 由 酒哥 于 August 27, 2012 05:34:51:
前几個及10-16可能是美國防部興趣所在。
讀后有几個問題。
第8個問題不很明确。按通常意義，它不太通，除非它有別的意義（有時間有興趣再細說）。
第9個問題作些評論。我們時代的偉大天才 William Paul Thurston
21日晚剛過世，在此紀念一下。
一空間能否分解成若干（有限多個）小塊，而每一小塊看上去性質相對
單一，稱這中小塊為齊性塊，其粗略定義如下（在如下意義性質下單一）
這一完備的單連通的“齊性”小塊可以“連續”形變到這樣
一個空間：從它的任意兩點看局部的遠近高低地形（局部几何）
是一模一樣的。
問題是:是不是空間由這樣的（有限塊）齊性小塊組成）？
如果可以會有多少不同的齊性小塊？每一個的結构如何？
二維的情形，這個齊性小塊分類上個世紀已完成。
二維齊性小塊有三塊：
2維球面、2維平面 2維雙曲空間（馬鞍面，每一點都如馬背上一點一樣有
向相反方向彎的曲線）
而2維本質上不同的閉曲面有：
﹒球面、2維實射影平面（把球面直徑兩端的端點粘起來）（歐拉示性數為正）、
﹒2維救生圈表面、把水管兩頭接起來，但不是對接而是兩端底部位于同一端
（從高維）空間粘起來所成（歐拉示性數為零）、
﹒2-雙曲空間（馬鞍面，每一點都 如馬背上任一點有向相反方向彎的曲線）（歐拉示性數為負）。
救生圈表面、有兩個大洞的救生圈表面，。。。 （嚴格地說是2維雙曲空間
与其保距同构群的子群的商，這里距离是由2維平面自然誘導的典則距离）
三維的情形有偉大的天才Thurston的几何化猜測（現由Perelman
變成定理）的天才預見：
共八類齊性小塊。經由空間与种种李變換群的商得到。
SU(2)（特殊酉群）
R^3（通常空間）
H^3（3維雙曲空間）
S^2xR^1 2球面与直線的積（把直線豎球面上）
H^2xR^1馬鞍面与直線的積（把直線豎馬鞍面上）
nil 冪零群
SL(2,R)的通用覆蓋。 特殊實線性群之通用覆蓋
sol 可解群。
而任一不可壓縮的可定向的閉（無邊、緊）三空間皆由
有限個上述齊性塊拼湊起來，拼湊的接口是球面或救生圈表面。
（Poincare 猜想是特例中的特例。即三維球面由与4維空間
正交群的有限子群的商得到，且這個群衹有一個元（
因基本群衹有一個元，單連通），因之商是空間是空間自身
即3維球面。 但這是一個重要的特例。
所謂商是指一點与群下的變換點看成一點（粘起來），比如
一圓圈用二元乘法群{-1.1}作用，即把所有直徑兩端的點
看成一點（粘起來），
最后得到空間仍是圓圈（為什么？解答在下面）。
但把二維球面所有直徑兩端的粘起來，得到的空間不再是
二維球面（可以証明），這新得到的成稱為二維實射影平面。
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為何一圓圈用二元乘法群{-1.1}作用，即把所有直徑兩端的
點看成一點（粘起來），最后得到空間仍是圓圈？
把圓圈一直徑的兩端切幵，圓圈切成了兩半圓圈，
把其中一半扔掉，把剩下的一半兩頭粘起來。
因為扔掉的一半的內點其實是被粘成留下一半的內點，
而端點我們最后把它們粘上了。
先看一下按齊性分類會有什么樣的應用是自然的。
但就軍事需要而言，這种分類法比較粗糙，事百功一。
不如研究些較典型具体的細分類，未必要覆蓋全部的情形。
第10個問題的嵌入為何必須是一個剛性的嵌入？
這任何微小的攝動其實質上仍然是原來的嵌入的性質在
protein folding問題上是本質要求嗎？
第17，18，19，21，22問題目前的純數學的核心問題。
有時間可作一點評論，不敢多妄言，這里水太深了。
先提一點：
第22個問題可能說法有誤。可能是在問，有無4維空間的
齊性空間分類（類似Thurston Conjecture）的分類定理。
因為4維空間的Poincare Conjecture (上述分類定理之特例）
早由Freedman于1982年解決。
匆匆寫就，錯誤可能不少，請原諒。